3/27 Saturday1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 授課老師：辦圖網(wǎng)

2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一門學(xué)科。

3第一章 概率論的基本概念 1.1 隨機(jī)試驗(yàn) 1.2 樣本空間 1.3 概率和頻率 1.4 等可能概型（古典概型） 1.5 條件概率 1.6 獨(dú)立性第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.1 隨機(jī)變量 2.2 離散型隨機(jī)變量及其分布 2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 2.5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布目錄

4 概 率 論

5關(guān)鍵詞： 樣本空間 隨機(jī)事件 頻率和概率 條件概率 事件的獨(dú)立性第一章 概率論的基本概念

6§1 隨機(jī)試驗(yàn)確定性現(xiàn)象：結(jié)果確定不確定性現(xiàn)象：結(jié)果不確定——確定——不確定——不確定自然界與社會(huì)生活中的兩類現(xiàn)象例： 向上拋出的物體會(huì)掉落到地上 明天天氣狀況 買了彩票會(huì)中獎(jiǎng)

7概率統(tǒng)計(jì)中研究的對象：隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律 對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗(yàn)統(tǒng)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。 它具有以下特性：可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行事先知道可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行試驗(yàn)前并不知道哪個(gè)試驗(yàn)結(jié)果會(huì)發(fā)生 例： 拋一枚硬幣，觀察試驗(yàn)結(jié)果；對某路公交車某?？空镜怯浵萝嚾藬?shù)；對某批電子產(chǎn)品測試其輸入電壓；對聽課人數(shù)進(jìn)行一次登記；

8§2 樣本空間·隨機(jī)事件(一)樣本空間 定義：隨機(jī)試驗(yàn)E的所有結(jié)果構(gòu)成的集合稱為E的 樣本空間，記為S={e}， 稱S中的元素e為基本事件或樣本點(diǎn)．S={0,1,2,…}；S={正面，反面}；S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；S={ x|a≤x≤b }　記錄一城市一日中發(fā)生交通事故次數(shù) 例：　一枚硬幣拋一次　記錄某地一晝夜最高溫度x，最低溫度y 　記錄一批產(chǎn)品的壽命x

9(二) 隨機(jī)事件 一般我們稱S的子集A為E的隨機(jī)事件A，當(dāng)且僅當(dāng)A所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生稱事件A發(fā)生。 S＝{0,1,2,…}；例：觀察89路公交車浙大站候車人數(shù)， 如果將S亦視作事件，則每次試驗(yàn)S總是發(fā)生， 故又稱S為必然事件。為方便起見，記Φ為不可能事件，Φ不包含 任何樣本點(diǎn)。

10(三) 事件的關(guān)系及運(yùn)算事件的關(guān)系（包含、相等）例：記A={明天天晴}，B={明天無雨}記A={至少有10人候車}，B={至少有5人候車}一枚硬幣拋兩次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}

11 事件的運(yùn)算當(dāng)AB=Φ時(shí)，稱事件A與B不相容的，或互斥的。

12 “和”、“交”關(guān)系式例：設(shè)A={ 甲來聽課 }，B={ 乙來聽課 } ，則：{甲、乙至少有一人來}{甲、乙都來}{甲、乙都不來}{甲、乙至少有一人不來}

13§3 頻率與概率(一)頻率 定義：記 其中 —A發(fā)生的次數(shù)(頻數(shù))；n—總試驗(yàn)次 數(shù)。稱 為A在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率。例：中國國家足球隊(duì)，“沖擊亞洲”共進(jìn)行了n次，其中成功了一次，則在這n次試驗(yàn)中“沖擊亞洲”這事件發(fā)生的頻率為 某人一共聽了17次“概率統(tǒng)計(jì)”課，其中有15次遲到，記 A={聽課遲到}，則 # 頻率 反映了事件A發(fā)生的頻繁程度。

表 1 例：拋硬幣出現(xiàn)的正面的頻率

15表 2

16** 頻率的性質(zhì)：且 隨n的增大漸趨穩(wěn)定，記穩(wěn)定值為p．

17 (二) 概率 定義1： 的穩(wěn)定值p定義為A的概率，記為P(A)=p 定義2：將概率視為測度，且滿足： 稱P(A)為事件A的概率。

18性質(zhì)：

19§4 等可能概型（古典概型）定義：若試驗(yàn)E滿足：S中樣本點(diǎn)有限(有限性)出現(xiàn)每一樣本點(diǎn)的概率相等(等可能性)稱這種試驗(yàn)為等可能概型(或古典概型)。

20例1：一袋中有8個(gè)球，編號為1－8，其中1－3 號為紅球，4－8號為黃球，設(shè)摸到每一 球的可能性相等，從中隨機(jī)摸一球， 記A={ 摸到紅球 }，求P(A)． 解： S={1,2,…,8} A={1,2,3}

21例2：從上例的袋中不放回的摸兩球， 記A={恰是一紅一黃}，求P(A)． 解：例3：有N件產(chǎn)品，其中D件是次品，從中不放 回的取n件， 記Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：

22例4：將n個(gè)不同的球，投入N個(gè)不同的盒中(n≤N)，設(shè)每一球落入各盒 的概率相同，且各盒可放的球數(shù)不限， 記A＝{ 恰有n個(gè)盒子各有一球 }，求P(A)． 解： 即當(dāng)n＝2時(shí)，共有N2個(gè)樣本點(diǎn)；一般地，n個(gè)球放入N個(gè)盒子中，總樣本點(diǎn)數(shù)為Nn，使A發(fā)生的樣本點(diǎn)數(shù) 可解析為一個(gè)64人的班上，至少有兩人在同一天過生日的概率為99.7%．若取n＝64，N＝365

23 例5：一單位有5個(gè)員工，一星期共七天， 老板讓每位員工獨(dú)立地挑一天休息， 求不出現(xiàn)至少有2人在同一天休息的 概率。 解：將5為員工看成5個(gè)不同的球， 7天看成7個(gè)不同的盒子， 記A={ 無2人在同一天休息 }， 則由上例知：

24例6: (抽簽問題)一袋中有a個(gè)紅球，b個(gè)白球，記a＋b＝n． 設(shè)每次摸到各球的概率相等，每次從袋中摸一球， 不放回地摸n次。 設(shè) { 第k次摸到紅球 }，k＝1,2,…,n．求 解1： 號球?yàn)榧t球，將n個(gè)人也編號為1,2,…,n．----------與k無關(guān) 可設(shè)想將n個(gè)球進(jìn)行編號： 其中 視 的任一排列為一個(gè)樣本點(diǎn)，每點(diǎn)出現(xiàn)的概率 相等。

25解3： 將第k次摸到的球號作為一樣本點(diǎn)：原來這不是等可能概型解2： 視哪幾次摸到紅球?yàn)橐粯颖军c(diǎn)解4： 記第k次摸到的球的顏色為一樣本點(diǎn)： S＝{紅色,白色}，

26 解：假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定，而各來訪者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來 訪者都是在周二、周四的概率為 212/712 =0.000 000 3.例7：某接待站在某一周曾接待12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的? 人們在長期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的”(稱之為實(shí)際推斷原理)。 現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，因此有理由懷疑假設(shè)的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認(rèn)為其接待時(shí)間是有規(guī)定的。

§5 條件概率 例：有一批產(chǎn)品，其合格率為90%，合格品中有85%為 優(yōu)質(zhì)品，從中任取一件， 記A={取到一件合格品}， B={取到一件優(yōu)質(zhì)品}。 則 P(A)=90% 而P(B)=85.5% 記：P(B|A)=95% P(A)=0.90 是將整批產(chǎn)品記作1時(shí)A的測度P(B|A)=0.95 是將合格品記作1時(shí)B的測度由P(B|A)的意義，其實(shí)可將P(A)記為P(A|S)，而這里的S常常省略而已，P(A)也可視為條件概率分析：

28一、條件概率 定義： 由上面討論知，P(B|A)應(yīng)具有概率的所有性質(zhì)。 例如：二、乘法公式 當(dāng)下面的條件概率都有意義時(shí)：

29 例：某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能直接出廠的概率為70%，余下 的30%的產(chǎn)品要調(diào)試后再定，已知調(diào)試后有80% 的產(chǎn)品可以出廠，20%的產(chǎn)品要報(bào)廢。求該廠產(chǎn) 品的報(bào)廢率。利用乘法公式 解：設(shè) A={生產(chǎn)的產(chǎn)品要報(bào)廢} B={生產(chǎn)的產(chǎn)品要調(diào)試} 已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，

30 例：某行業(yè)進(jìn)行專業(yè)勞動(dòng)技能考核，一個(gè)月安排一次，每人 最多參加3次；某人第一次參加能通過的概率為60%；如 果第一次未通過就去參加第二次，這時(shí)能通過的概率為 80%；如果第二次再未通過，則去參加第三次，此時(shí)能通 過的概率為90%。求這人能通過考核的概率。解： 設(shè) Ai={ 這人第i次通過考核 }，i=1,2,3 A={ 這人通過考核 }，亦可：

31 例：從52張牌中任取2張，采用(1)放回抽樣，（2）不放 回抽樣，求恰是“一紅一黑”的概率。利用乘法公式（1）若為放回抽樣：（2）若為不放回抽樣： 解： 設(shè) Ai={第i次取到紅牌}，i=1,2 B={取2張恰是一紅一黑}

32三、全概率公式與Bayes公式定義：設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1,B2,…,Bn 為E的一組事件。若： 則稱B1,B2,…,Bn為S的一個(gè)劃分,或稱為一組完備事件組。即：B1,B2,…,Bn至少有一發(fā)生是必然的，兩兩同時(shí)發(fā)生又是不可能的。

33 定理：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件。B1,B2,…,Bn為S的一個(gè)劃分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n； 則稱： 證明： 定理：接上定理?xiàng)l件， 稱此式為Bayes公式。

34* 全概率公式可由以下框圖表示： 設(shè) P(Bj)=pj, P(A|Bj)=qj, j=1,2,…,n 易知：SP1P2Pn...B2q2q1qn

35 例：一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率為80%， 若甲出差，則乙出差的概率為20%；若甲不出差， 則乙出差的概率為90%。(1)求近期乙出差的概率； (2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。 Bayes公式全概率公式解：設(shè)A={甲出差}，B={乙出差}

36 例：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有5% 的假陽性及5%的假陰性：若設(shè)A={試驗(yàn)反應(yīng)是陽性}， C={被診斷患有癌癥} 則有： 已知某一群體 P(C)=0.005，問這種方法能否用于普查？若P(C)較大，不妨設(shè)P(C)=0.8推出P(C|A)=0.987說明這種試驗(yàn)方法可在醫(yī)院用解：考察P(C|A)的值 若用于普查，100個(gè)陽性病人中被診斷患有癌癥的 大約有8.7個(gè)，所以不宜用于普查。

37§6 獨(dú)立性 例：有10件產(chǎn)品，其中8件為正品，2件為次品。從中取2 次,每次取1件，設(shè)Ai={第i次取到正品}，i=1,2不放回抽樣時(shí)，放回抽樣時(shí)， 即放回抽樣時(shí)，A1的發(fā)生對A2的發(fā)生概率不影響 同樣，A2的發(fā)生對A1的發(fā)生概率不影響定義：設(shè)A，B為兩隨機(jī)事件， 若P(B|A)=P(B)， 即P(AB)=P(A)*P(B) 即P(A|B)=P(A)時(shí)，稱A，B相互獨(dú)立。

38 注意：

39 例：甲、乙兩人同時(shí)向一目標(biāo)射擊，甲擊中 率為0.8，乙擊中率為0.7，求目標(biāo)被 擊中的概率。 解： 設(shè) A={甲擊中},B={乙擊中} C={目標(biāo)被擊中} ∵ 甲、乙同時(shí)射擊，其結(jié)果互不影響， ∴ A，B相互獨(dú)立

40 例：有4個(gè)獨(dú)立元件構(gòu)成的系統(tǒng)(如圖)，設(shè)每個(gè)元件能正常運(yùn)行的概率為p，求系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率。 注意：這里系統(tǒng)的概念與電路 中的系統(tǒng)概念不同

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42總結(jié)：

43復(fù)習(xí)思考題 11.“事件A不發(fā)生，則A=Ф”,對嗎？試舉例證明之。2. “兩事件A和B為互不相容，即AB=Ф,則A和B互逆”，對嗎？ 反之成立嗎？試舉例說明之。4. 甲、乙兩人同時(shí)猜一謎，設(shè)A={甲猜中}，B={乙猜中}， 則A∪B={甲、乙兩人至少有1人猜中}。若P(A)=0.7,P(B)=0.8, 則“P(A∪B)=0.7+0.8=1.5”對嗎？5. 滿足什么條件的試驗(yàn)問題稱為古典概型問題？

447.如何理解樣本點(diǎn)是兩兩互不相容的？8.設(shè)A和B為兩隨機(jī)事件，試舉例說明P(AB)=P(B|A)表示不同的意義。10.什么條件下稱兩事件A和B相互獨(dú)立？ 什么條件下稱n個(gè)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立？11.設(shè)A和B為兩事件，且P(A)≠0,P(B)≠0,問A和B相互獨(dú)立、A和B互不相容能否同時(shí)成立？試舉例說明之。12.設(shè)A和B為兩事件，且P(A)=a,P(B)=b,問： (1) 當(dāng)A和B獨(dú)立時(shí),P(A∪B)為何值？ (2) 當(dāng)A和B互不相容時(shí), P(A∪B)為何值？

4513.當(dāng)滿足什么條件時(shí)稱事件組A1,A2,…,An為樣為本空間 的一個(gè)劃分？14.設(shè)A,B,C為三隨機(jī)事件，當(dāng)A≠B，且P(A)≠0, P(B)≠0時(shí)， P(C|A)+P(C|B)有意義嗎？試舉例說明。15.設(shè)A,B,C為三隨機(jī)事件,且P(C)≠0, 問P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)－P(AB|C)是否成立？ 若成立，與概率的加法公式比較之。

46第二章 隨機(jī)變量及其分布 關(guān)鍵詞： 隨機(jī)變量 概率分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的函數(shù)

47§1 隨機(jī)變量* 常見的兩類試驗(yàn)結(jié)果：X= X(e)－－為S上的單值函數(shù)，X為實(shí)數(shù) * 中心問題：將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化* 定義：隨試驗(yàn)結(jié)果而變的量X為隨機(jī)變量* 常見的兩類隨機(jī)變量

48§2 離散型隨機(jī)變量及其分布 定義：取值可數(shù)的隨機(jī)變量為離散量 離散量的概率分布(分布律)# 概率分布

49 例：某人騎自行車從學(xué)校到火車站，一路上要經(jīng) 過3個(gè)獨(dú)立的交通燈，設(shè)各燈工作獨(dú)立，且設(shè) 各燈為紅燈的概率為p，0

50 例：從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽產(chǎn)品進(jìn)行檢測，設(shè)產(chǎn)品 的次品率為p，0

51 三個(gè)主要的離散型隨機(jī)變量 0－1(p) 分布 二項(xiàng)分布樣本空間中只有兩個(gè)樣本點(diǎn)即每次試驗(yàn)結(jié)果互不影響在相同條件下重復(fù)進(jìn)行(p+q=1)

52 例：1. 獨(dú)立重復(fù)地拋n次硬幣，每次只有兩個(gè)可能的結(jié)果： 正面，反面， 2.將一顆骰子拋n次，設(shè)A={得到1點(diǎn)}，則每次試驗(yàn) 只有兩個(gè)結(jié)果： 3.從52張牌中有放回地取n次，設(shè)A={取到紅牌}，則 每次只有兩個(gè)結(jié)果：

53設(shè)A在n重貝努利試驗(yàn)中發(fā)生X次，則并稱X服從參數(shù)為p的二項(xiàng)分布，記推導(dǎo)：設(shè)Ai={ 第i次A發(fā)生 }，先設(shè)n=3

54例： 設(shè)有80臺同類型設(shè)備，各臺工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設(shè)備的故障能有一個(gè)人處理。 考慮兩種配備維修工人的方法， 其一是由4個(gè)人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺； 其二是由3個(gè)人共同維護(hù)80臺。 試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小。

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56 例：某人騎了自行車從學(xué)校到火車站，一路上 要經(jīng)過3個(gè)獨(dú)立的交通燈，設(shè)各燈工作獨(dú) 立，且設(shè)各燈為紅燈的概率為p，0

57 例：某人獨(dú)立射擊n次，設(shè)每次命中率為p， 0

58 例：有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下：先作第一次檢驗(yàn)， 從中任取10件，經(jīng)檢驗(yàn)無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大 于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，從中任取5件，僅當(dāng)5件 中無次品便接受這批產(chǎn)品，設(shè)產(chǎn)品的次品率為p． 求這批產(chǎn)品能被接受的概率L(p)．L(P)=P(A) 解： 設(shè)X為第一次抽得的次品數(shù)，Y為第2次抽得的次品數(shù)； 則X～b(10,p)，Y～b(5,p)， 且{X=i}與{Y=j}獨(dú)立。A={接受該批}。

59 泊松分布(Poisson分布)若隨機(jī)變量X的概率分布律為稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記例：設(shè)某汽車?？空竞蜍嚾藬?shù) (1)求至少有兩人候車的概率； (2)已知至少有兩人候車，求恰有兩人候車的概率。 解：

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61§3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)

62 例： 解：

63§4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義： 對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù) 若存在 非負(fù)的函數(shù) 使對于任意實(shí)數(shù) 有： 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，

64 與物理學(xué)中的質(zhì)量線密度的定義相類似

65 例：設(shè)X的概率密度為 (1)求常數(shù)c的值； (2) 寫出X的概率分布函數(shù)； (3) 要使 求k的值。 解：

66幾個(gè)重要的連續(xù)量 均勻分布 定義：X具有概率密度 稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布， 記為X～U(a,b)

67例：在區(qū)間(-1,2)上隨機(jī)取一數(shù)X，試寫出X的概率 密度。并求 的值； 若在該區(qū)間上隨機(jī)取10個(gè)數(shù)，求10個(gè)數(shù)中恰有 兩個(gè)數(shù)大于0的概率。 解：X在區(qū)間(-1,2)上均勻分布 設(shè)10個(gè)數(shù)中有Y個(gè)數(shù)大于0， 則：

68指數(shù)分布定義：設(shè)X的概率密度為 其中λ>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。記為 X具有如下的無記憶性：

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70 正態(tài)分布定義：設(shè)X的概率密度為 其中 為常數(shù)，稱X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布(Gauss分布)， 記為可以驗(yàn)算：

71稱μ為位置參數(shù)(決定對稱軸位置) σ為尺度參數(shù)(決定曲線分散性)

72X的取值呈中間多，兩頭少，對稱的特性。 當(dāng)固定μ時(shí)，σ越大，曲線的峰越低，落在μ附近的概率越小，取值就越分散，∴ σ是反映X的取值分散性的一個(gè)指標(biāo)。 在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中，大量隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布。

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74 例：

75 例：一批鋼材(線材)長度 (1)若μ=100，σ=2，求這批鋼材長度小于97.8cm 的概率；(2)若μ=100，要使這批鋼材的長度至少 有90%落在區(qū)間(97,103)內(nèi)，問σ至多取何值？

76 例：設(shè)某地區(qū)男子身高 (1) 從該地區(qū)隨機(jī)找一男子測身高，求他的身高大于 175cm的概率；(2) 若從中隨機(jī)找5個(gè)男子測身高,問至 少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身 高大于175cm的概率為多少？

77§5 隨機(jī)變量的函數(shù)分布問題：已知隨機(jī)變量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。例如，若要測量一個(gè)圓的面積，總是測量其半徑，半徑的 測量值可看作隨機(jī)變量X，若 則Y服從什么分布？例：已知X具有概率分布 且設(shè)Y=X2，求Y的概率分布。 解：Y的所有可能取值為0,1 即找出(Y=0)的等價(jià)事件(X=0)； (Y=1)的等價(jià)事件(X=1)或(X=-1)

78例：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度。 Y在區(qū)間(0,16)上均勻分布。

79一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的 概率分布的過程為：關(guān)鍵是找出等價(jià)事件。

80例：設(shè) Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。 解：Y的可能取值為-2,0,2 Z的可能取值為0,1 (Y=-2)的等價(jià)事件為(X=-1)… (Z=1)的等價(jià)事件為(X=1)∪(X=-1) 故得：

81例：

82

83

84例： 解：例： 解：

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86復(fù)習(xí)思考題 21.什么量被稱為隨機(jī)變量？它與樣本空間的關(guān)系如何？2.滿足什么條件的試驗(yàn)稱為“n重貝努里試驗(yàn)”？3.事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p,0

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